Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)

Mecánica

EXAMEN FINAL ORDINARIO (28 de Junio de 1996)

Apellidos  Nombre  N\underline{o}  Grupo

Ejercicio 6\underline{o} Tiempo: 45 min.

Una barra homogénea de longitud AB = 2l y masa m se mueve con su extremo A obligado a deslizar sin rozamiento sobre un eje vertical Oz. Inicialmente la barra forma un ángulo θ = 60^{∘} con la vertical y se deja caer sin velocidad desde una altura z_{A} = 2l, chocando mediante el extremo B con el plano horizontal fijo Oxy, de forma perfectamente elástica. Se pide:

1. Movimiento instantáneo de la barra después del choque;

2. Impulsión reactiva producida en A.

[figure: z; x; y; A; B; 60^{∘}; O]

La caída de la barra se desarrolla desde z_{A}^{1} = 2l hasta z_{A}^{2} = 2l cos 60^{∘} = l, es decir, cae una altura l. Puesto que parte del reposo cae paralelamente a sí misma, desarrollando una velocidad de traslación v_{0} = \sqrt{2gl}.

El movimiento antes y después del choque se desarrolla dentro de un mismo plano vertical, dentro del que tomaremos el eje de abscisas x. En el punto B se produce una percusión vertical P_{B}, mientras que en A aparece una percusión reactiva P_{A}.

[figure: P_{A}; v_{0}; G; P_{B}; x; z; G; ω; v_{A}; después del choque; antes del choque]

1.- Caracterizamos el movimiento después del choque por las variables ω, velocidad de rotación de la barra, y v_{A}, velocidad del punto A. Establecemos en primer lugar las ecuaciones de balance de cantidad de movimiento:

P_{A} = mω \frac{l}{2};  (1)

− mv_{0} + P_{B} = m (v_{A} + ωl\frac{\sqrt{3}}{2}) .  (2)

Por otra parte, el balance del momento cinético en G expresa

P_{B}l\frac{\sqrt{3}}{2} − P_{A}l\frac{1}{2} = \frac{1}{12}m(2l)^{2}ω.  (3)

Por último, la ecuación del coeficiente de restitución (e = 1) es

v_{0} = v_{A} + ωl\sqrt{3}.  (4)

Las 4 ecuaciones anteriores quedan planteadas en función de las incógnitas (ω, v_{A}, P_{A}, P_{B}). Resolviendo resulta:

ω = \frac{3\sqrt{3}}{4} \frac{v_{0}}{l}; v_{A} = −\frac{5}{4}v_{0}

2.- Sustituyendo los valores de ω y v_{A} en las ecuaciones (1) y (2) resulta

P_{A} = \frac{3\sqrt{3}}{8}mv_{0}; P_{B} = \frac{7}{8}mv_{0}